무한 급수

Zariski 님 블로그에 있던 고등학교 수준의 무한급수 문제.

\frac{2}{2^2-1} +\frac{2^2}{2^4-1} + \frac{2^4}{2^8-1} + \frac{2^8}{2^{16}-1} + \cdots

급수 형태가 생소해 보여 어려운 듯 보이지만, 사실 부분 분수로 잘 나누면 해결 된다.

무한 급수의 일반항을 \{a_n\}_{n\ge0} 이라 하자.

a_n = \dfrac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}-1}=\dfrac{(2^{2^n}+1)-1}{2^{2^{n+1}}-1} = \dfrac{1}{2^{2^{n}}-1} -\dfrac{1}{2^{2^{n+1}}-1}

그래서 항의 음수 부분과 다음 항의 양수 부분이 상쇄되어 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

\sum_{n=0}^k a_n = 1 - \frac{1}{2^{2^{k+1}}-1}

따라서 \sum_{n=0}^{\infty} a_n = 1 이다.

위의 풀이를 따르면 다음과 같이 문제를 확장할 수 있다.

\frac{x}{x^2-1} +\frac{x^2}{x^4-1} + \frac{x^4}{x^8-1} + \frac{x^8}{x^{16}-1} + \cdots = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{if }x > 1 \\ \frac{x}{x-1}, & \text{if }0 < x <1. \end{cases}