피라미드 저울의 눈금 문제

어제 @elanlife 님께서 트위터로 다음과 같은 사진을 한 장 보내주셨다.

과천의 국립 현대 미술관의 입구 왼쪽편에 있는 저울을 쌓아놓은 탑인데, 눈금이 좀 어색하다고 생각하셨다는군요. 저의 물리적 직관에 의하면, 각 줄마다 평평한 판을 깔거나, 각 줄의 저울을 이어 붙여서, 하중을 고르게 분산시킬 수 있다면 위의 눈금은 정상인 듯 보입니다. 저울의 개수와 받혀있는 저울의 수를 생각하면 등차 수열이 되기 때문이죠.

근데 문제는, 각 저울이 이어 붙어 있지 않고 따로 분리되어 있다면 중앙 쪽 저울이 양쪽 끝에 있는 저울에 비해 좀 더 많은 하중을 받게 됩니다. 그럴 경우에는 위의 눈금이 틀렸다는 거죠. 어떻게 계산하면 될까요? 그리고 일반항은 어떻게 될까요?

시작하기 전에, 각각의 저울의 무게는 1이고, 그 밑에 있는 저울 양쪽에 반반씩 하중을 전달한다고 가정합니다. (저울의 무게가 N이라고 하면, 계산 결과 전체에 N만 곱하면 됩니다.)

파스칼 삼각형에서의 전통을 따라 맨 위를 0번째 줄, 맨 왼쪽을 0번째 열이라고 합시다. 그리고 n번째 줄, k번째 열의 저울이 받는 하중(눈금)을 w(n,k)라고 정합시다. 이때, 1 \le k \le n-1 이면, 다음과 같은 점화식이 만족할 겁니다.

w(n,k) = \frac{w(n-1,k-1)+1}{2} + \frac{w(n-1,k) +1}{2}

그 외의 경우에는, k=0 혹은 k=n, 두 개의 항 중에서 하나가 없어집니다. 그리고 나면, 이 점화식을 이용해서 개별 눈금이 어떻게 되는지 계산할 수 있습니다.

0
1/2 1/2
3/4 3/2 3/4
7/8 17/8 17/8 7/8
15/16 5/2 25/8 5/2 15/16
31/32 87/32 61/16 61/16 87/32 31/32
63/64 91/32 273/64 77/16 273/64 91/32 63/64

그러면 일반항은 어떻게 표시할 수 있을까? 제가 생각한 답은 다음과 같이 Double Sum 형태로 표시했는데, 좀 더 간단한 형태가 있다면, 알려주시길 바랍니다.

w(n,k) = \left( \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(i+j)!}{i!j!2^{i+j}}\right) - 1

참고로 위의 일반항은 (n-i-j)번째 줄 (k-i)번째 열의 저울이 n번째 줄 k번째 열의 저울에 가하는 하중

\frac{1}{2^{i+j}} {i+j \choose i}

을 계산해서 전부 더 한 것 뿐입니다. 따라서 n번째 줄 k번째 열의 저울의 무게가 1이 아닌 m(n,k) 라면, 다음과 같이 점화식과 일반항을 확장할 수 있을 것입니다.

w(n,k) = \frac{w(n-1,k-1)+m(n-1,k-1)}{2} + \frac{w(n-1,k) +m(n-1,k)}{2}

w(n,k) = \left( \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{m(n-i-j,k-i)}{2^{i+j}} {i+j \choose i} \right) - m(n,k)