두 개의 행렬

http://mathsci.kaist.ac.kr/pow/2009/10/30/200919/ 에 출제된 문제이다.

Let A and B be n \times n matrices over the real field \mathbb{R}. Prove that if A+B is invertible, then

A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A.

딱 봐도 고등학교를 약간 넘어가는 수준의 문제다. 내가 학생들 제출 마감시간에 전에 풀이를 쓰면 반칙이니까, 그 시간 넘겨 풀이를 적어본다.

\begin{array}{rcl}A(A+B)^{-1}B &=& A(A+B)^{-1}(A+B-A) \\ &=& A(A+B)^{-1}(A+B)-A(A+B)^{-1}A\\ &=& A-A(A+B)^{-1}A\\ &=& (A+B)(A+B)^{-1}A-A(A+B)^{-1}A\\ &=& (A+B-A)(A+B)^{-1}A\\ &=& B(A+B)^{-1}A \end{array}

아이디어는 간단하다. 필요한 만큼 더하고 뺀 다음, 분배법칙으로 전개하여 식을 변형한 후, 대칭적인 모습을 고려하여 다시 환원시키는 거다. 위의 풀이를 보면 알겠지만, 위 문제와 같은 조건일 때, 다음 식도 성립함을 알수 있다.

A-A(A+B)^{-1}A = B-B(A+B)^{-1}B