적분 문제

애기_똥풀님 블로그에서 가져온 문제입니다.

다음 적분을 계산하여라.

\int \dfrac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} dx

위의 문제를 보자마자 재밌는 문제라고 생각해서 바로 풀어 보았습니다. 한 눈에도 분모는 다음 형태의 식

1+\sqrt{x}

을 반복적으로 가지고 있음을 알 수 있습니다. 그것을 이용하여 다음과 같은 풀이를 만들었습니다.

f(x) = 1+\sqrt{x} 라고 하면, f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}이다.

\frac{d}{dx}\left( f(f(f(x)) \right) = f'(x) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(f(f(x))) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(f(x))}}

그래서,

\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{f(x)} \sqrt{f(f(x))}} dx = 8 f(f(f(x))) + C = 8 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}} + C.

이 풀이의 좋은 점은 반복되는 식을 이용했다는 점 때문에, 다음과 같은 확장된 형태의 식 역시 성립함을 증명할 수 있습니다.

\small \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}} \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} } dx = 16 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} + C.