Ramanujan's infinitely nested radicals problem

다음은 Ramanujan 이 제안하고 아무도 풀지 못해서, 6개월 뒤에 스스로 해답을 첨부한 문제로 유명한 식이다.

다음 식의 값을 구하시오.

\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{\cdots}}}}}

답은 3이다. 증명은 대충 다음과 같다.

n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)} 을 이용하자.

\parstyle \begin{eqnarray*} 3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots \end{eqnarray*}

물론 엄밀한 증명을 원한다면, 수렴성에 대해서도 따져야 하지만, 각자 생각해 보도록 하고, 여기서는 넘어가겠다.

나는 처음 이 증명을 보고 충격을 받았다. 이렇게 창의적인 생각은 어디서 품어져 나오는 것일까? 하고 생각했고, 천재의 비범함에 대해 다시 생각해 보게 되었다.

원래 이 식의 일반적인 식은 다음과 같다.

x+n+a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}

물론 이 식에 x=2, n=1, a=0 을 대입하면 첫 식을 구할 수 있고, 다음의 기본적인 아이디어로 유도해 볼 수도 있다.

x+n+a=\sqrt{ax+(n+a)^2+x((x+n)+n+a)}